Objectif et champ de vue. Résolution et lumière.

Encore un sujet largement traité sur le net. Je ne vais pas réinventer la roue dans cette article mais propose, je penses, une approche légèrement différente du problème. Pour l'affronter je vais utiliser des concepts et une certaine vision des fonctions d'un objectif photo qui je penses sont utiles pour comprendre le problème dans son ensemble. Dans un premier temps cela se fera en parlant seulement d'objectif, sans introduire de détecteur.

Je conçois très bien que les explications et illustrations qui suivent vont satisfaire certains esprits alors que d'autres préféreront des démonstrations plus pragmatiques et directes. Je le réécrit encore une foi ici, le but de ces articles n'est en aucun cas de donner des conseils photographiques mais de discuter de "comme ça marche".

L'imagerie

Physiquement un objectif photo, un télescope ou un oeil sont des "machines" à convertir des angles en distances sur une surface. Voila, vous savez presque tout!

Regardez la lune, vous n'avez à priori aucune information sur sa taille physique réelle. Ce que vous pouvez facilement estimer c'est sa "taille angulaire", l'angle décrit par les deux bords de la Lune. Cette taille angulaire vas être environ la même que une pièce de deux euros tendue a bout de bras par exemple.

La Lune vue de la terre à une taille angulaire de 0.5 degrés

Nous savons que la Lune est certainement plus grande qu'une pièce de deux euros. Mais si vous étiez un objectif photo, bête et méchant, vous ne feriez aucune différence. La seule information qu'un objectif photo a de la géométrie du monde passe uniquement par des angles. L'éloignement et la taille réelle des objets est inconnu de l'objectif. Je mets pour l'instant de coté la profondeur de champ.

Un schéma avec des échelles non respectés montrant qu'un objectif transforme des angles en une distance sur une surface (le détecteur). Une personne à 3 mètres, ou un arbres à 20 mètres, ou deux étoiles à des années lumière de distance l'une de l'autre, vu de l'objectif, peuvent décrire le même angle et décriront la même "distance" sur le détecteur.

La fonction imagerie d'un objectif, découplée du détecteur qui se trouvera derrière, peut se d'écrire avec les trois éléments suivants: Un taux de conversion angle-distance, un angle maximum, un angle minimum. En voici les détails:

a) Un taux de conversion angle-distance

Cette règle de conversion est déduite grâce à la longueur focale de l’objectif. En ce qui concerne la formule mathématique la voici:

\(l = 2 M\,\tan{\frac{\alpha}{2}}\ \ \ \ \) (équation a)

\(l\) étant la distance projeté sur le plan focal (le plan d'imagerie ou se trouvera le détecteur), \(\alpha\) l'angle considéré et \(M\) la longueur focale de l'objectif (\(\tan\) c'est la tangente). Si l'angle \(\alpha\) est petit (inférieur à une poignet de degrés) on peut simplifier la formule par:

\(l = M\,\alpha\ \ \ \) (avec \(\alpha\) en radiant).

Ou

\(l = M\,\alpha_\circ \frac{\pi}{180} \simeq 0.0174\ M\,\alpha_\circ\ \ \ \ \) (avec \(\alpha_\circ\) en degré).

Mais qu'importe la formule, ce qu'il faut retenir est que, pour un certain angle d’entré sur l’objectif, plus la longueur focale sera grande plus la distance induite sur le plan focal (\(l\)) sera grande. Par exemple, un angle de 0.5 degrés (la Lune) décrira un un disque de rayon de 1.7mm sur le plan focal avec un objectif de 200mm alors que avec un 50mm il sera de 0.44mm (voir les figures ci dessous).

b) Un angle maximum

Chaque objectif photo possède un angle maximum qu'il peut restituer. Ceci se traduit donc par une distance maximum sur le plan focal via la formule ci-dessus.

Cette angle maximum n'est jamais indiqué sur un objectif photo. Cependant on peut le deviner en fonction du système pour lequel il est destiné. Un 10mm, par exemple, destiné à un appareil plein format, pourra restituer un angle maximum de environ 130 degrés alors que un objectif de 10mm destiné à un téléphone portable pourra restituer seulement \(\sim\) 40 degrés. Ceci le rend beaucoup plus compacte.

Si on traduit l’angle maximum par une distance sur le plan focal on obtient le diamètre d’un cercle, certain l’appelle le cercle projeté de l’objectif. Évidemment, le détecteur destiné à capter l'image est supposait à l'intérieur de ce cercle.

Un objectif dit grand champ, ou grand angle, c'est un objectif qui peut restituer un grand angle maximum (entre 64 et 84\(^\circ\)). On pourrait très bien fabriquer un objectif de 200mm de focale que l'on peut considérer comme un "grand angle". À partir du moment ou il peut restituer un angle supérieur à \(\sim\) 64\(^\circ\). Mais ça serait, en plus d'être techniquement difficile, complètement inutile car aucun détecteur photo sur le marché ne pourrait être assez grand pour restituer cet angle ou autrement dit assez grand pour remplir le cercle projeté.

Dans l'illustration ci-dessous j'ai placé deux objectifs photo de longueur focale de 50mm1 devant un écran d'ordinateur ou sept cercles concentriques sont affichés. L'image que les objectifs captent de ces cercles est projeté sur une feuille blanche. Comme ils ont la même focale, donc la même conversion angle/distance, la taille de chacun des cercles est identique sur les deux images. Par contre l'objectif de gauche a un “angle maximum plus grand” (= un cercle projeté plus grand) et pourra restituer une plus grande partie de la scène (plus de cercles dans ce cas).

Deux objectifs regardant un écran d'ordinateur ou sept cercles concentriques sont affichés. Les deux objectifs ont à peu près une longueur focale de 50mm. Les cercles ont la même tailles dans les deux cas. Par contre l'angle maximum que peu restituer l'objectif est plus grand pour l'objectif de gauche qui est destiné à un FF (Nikor f/1.8) que pour celui de droite destiné à un APS-C (Fuji 56mm f/1.2).

Dans le deuxième exemple ci-dessous, les deux objectifs ont des longueurs focales différentes. Un 50mm à gauche et un 35mm à droite. Contrairement à précédemment les cercles sont plus petits avec le 35mm car la conversion angle/distance est différente. Par contre l’angle maximum est approximativement le même pour les deux objectifs. Les deux objectifs pourront restituer la même image, le même champ de vu, mais sur une surface de taille différente, plus petite dans le cas du 35mm.

Deux objectifs regardant un écran d’ordinateur ou sept cercles concentriques sont affichés. Les objectifs ont une longueur focale de 50mm (à gauche) et 35mm (à droite). Les cercles noirs ont donc des tailles différentes sur le plan focal. Par contre l’angle maximum que peu restituer les objectifs est à peu près identique.

c) Un angle minimum

(Lecture optionnelle)

L'explication sur l'angle minimum se complique un peu et fera peut être l'objet d'un article complet. La courte explication suivante est optionnelle dans cette article, il n'est pas besoin de la comprendre pour la suite.

Même si on considère un objectif photo optiquement parfait, il existe quand même un angle minimum qu'il peut restituer. C'est à dire que tout détails contenus dans un angle inférieur à cet angle minimum sont invisibles, perdus, ils ne peuvent pas être restitués par l'objectif. On dit que ces détails ne peuvent pas être "résolus". Cet angle minimum "naturel" est appelé limite de diffraction il est dicté par la nature quantique de la lumière. Il ne dépend pas de la focale de l'objectif mais il dépend de la taille de l'ouverture (la taille de la pupille) et de la longueur d'onde de la lumière observée. Une formule si vous en voulez une:

\(\alpha_{min} = 1.22 \frac{\lambda}{D}\) (b)

\(\lambda\) étant la longueur d'onde et \(D\) le diamètre de la pupille (\(\alpha_{min}\) est en radiant).

Bien sur, comme tout angles, cette angle minimum se traduit par une 'distance' sur le plan focal. En injectant les deux formules (a) et (b) l'une dans l'autre on trouve que cette 'distance minimum' est de \(l_{min} = M\ 1.22\frac{\lambda}{D}\), ou autrement dit \(l_{min} = f\ 1.22\,\lambda\). Ici \(f\) est le nombre-f de l'objectif (la focale \(M\) divisée par le diamètre de la pupille \(D\))2.

En terme photographique, vous l'avez déjà entendu on dit que “l’image se dégrade à cause de la diffraction", cela vient de la limite de diffraction brièvement expliqué ci-dessus. En fait tout les éléments d'une scène dont la “taille angulaire” sera inférieure à cette limite3 décriront sur le plan focale une tache, dite “tache de diffraction”. Sa dimension n’est plus liée a l’objet observé mais au nombre-f (la forme de la pupille va jouer aussi sont rôle sur l'aspect de cette tache).

Mais concrètement, la qualité optique peut limiter le pouvoir de résolution de l'objectif avant la limite naturelle de diffraction. C'est souvent le cas à grande ouvertures. Dans ce cas l'angle minimum dépendra de la formule est qualité optique et non plus de la taille de la pupille. Aussi lorsqu'on introduira le détecteur, on verra que la taille des pixels est un facteur limitant à grandes ouvertures pour la résolution4.

Quantité de lumière

Encore un paramètre d'un objectif photo que l'on peut déterminer sans faire pour l'instant intervenir le détecteur: la quantité de lumière que peut capter un objectif photo.

Il est évidant que l'angle maximum de l'objectif va jouer sur la quantité totale de lumière qu'il peut délivrer. La quantité de lumière va augmenter lorsque on augmente le champ de vue, ou autrement dit une plus grosse portion du monde sera capté.

L'autre élément important sur la quantité de lumière est la taille de la pupille. La pupille est une surface située quelque par dans l'objectif5. En général la pupille est la ou se trouve l'iris de l'objectif, ce qui permet de modifier sa taille. Tout "points sources" de la scène photographiée émettent ou réfléchissent de la lumière dans toutes les directions. Une partie seulement est capté par l'objectif, c'est par définition la pupille qui délimite la surface de captation de cette lumière, voir la figure ci-dessou.

Schéma montrant quelques rayons émis par un "point source". Seulement une partie est capté par la pupille. Ici l'objectif est juste une lentille est définit la pupille. En diminuant la pupille on diminue la quantité de lumière capté du point source.

Ce que j'appelles "point source" c'est tout éléments de la scène qui ont, vue par l'objectif, une taille angulaire inférieure ou égale à l'angle minimum introduit plus haut. Ce sont les briques élémentaires qui vont constituer l'image. En augmentant la pupille on augmente la quantité de lumière capté pour chaque point source, en augmentant l'angle maximum (champ de vue) on augmente le nombre de points source captés.

Donc pour résumer, géométriquement deux paramètre interviennent sur la quantité de lumière capté: l'angle maximum (le champ de vu) et la taille de la pupille. En plus de cela, dans un second ordre, intervient la qualité des verre de l'objectif et leur pouvoir de transmission appelé transmittance. Les verres peuvent eux même absorber ou réfléchir de la lumière.

Le nombre-f lui ne donne pas la quantité totale de lumière. Il donne la "densité de lumière" sur le plan focal. Ou autrement dit la quantité de lumière par \(mm^2\). Le nombre-f est donc utile pour déterminer l'exposition requise pour prendre une photo en fonction de la sensibilité de surface du détecteur. Mais il ne déterminera pas la "qualité", au sens du niveau de bruit, de la photo finale. Ce qui est déterminant pour le rapport "signal sur bruit" (le niveau de grain) pour une photo de taille donnée est bien la quantité totale de lumière capté. Bien sur d'autres paramètres techniques interviennent au niveau du détecteur, mais pour des détecteurs identiques ou de même génération c'est essentiellement la quantité de lumière qui fera la différence. Pour savoir plus, voir l'article La lumière le bruit et les détecteurs.

C'est ultra simple si on y penses. Pour une taille de photo finale donnée, plus on capte de lumière pour la construire, plus le SNR (rapport signal sur bruit) sera meilleur, c'est à dire que la photo aura moins de "grains" (appelé bruit également). C'est pour cela que un objectif de 5mm f/2 destiné à un téléphone portable ne pourra jamais égaler les performances en basse lumière d'un 30mm f/2 destiné à un plein format. Même avec les plus parfait des détecteurs derrières. Malgré le fait qu'ils auront le même champ de vue, le trou qui laisse passer la lumière (la pupille) est 36 fois plus petite pour l'objectif du portable. L'augmentation de la quantité de lumière, et donc du SNR, est une des raisons pour laquelle nous construisons des télescopes géants. Le prochain (l'ELT) aura une pupille de 39 mètres ! C'est pour cela que les antennes parabolique sur le toit de vos maison on une certaine taille, pour augmenter le SNR ... les exemples sont multiples.

Si on pose la question à un photographe, laquelle des configurations suivante produira la meilleure qualité (SNR) en basse lumière:

Mêmes objectifs avec une taille de pupille diminuant (nombre-f augmentant).

Tous répondront la configuration A car le trou qui laisse passer la lumière est plus grand.

Maintenant, prenez ci-dessous deux objectifs différents. La seule indication qu'on vous donne est que les deux produiront le même champ de vue, qu'importe la manière d'y arriver (détecteur de taille différent, réducteur focal sur A, téléconverteur sur B, ...), l'important est que le champs de vue va être identique. La même portion du monde sera reproduite avec les deux objectifs:

Objectifs de focales différentes mais destinée a créer la même photo (même champ de vue). Lequel sera "meilleur" en basse lumière ?

Lequel aura de meilleur performances en basse lumière pour une même photo ? Évidement c'est le A car la pupille est plus grande (2.5 fois en surface), plus de lumière est capté. (À moins bien sur d'utiliser un détecteur vieux de 20 ans sur A et un neuf sur B par exemple). Le fait qu'ils on le même nombre-f n'y changera rien.

Cela semble logique et intuitif, mais pourtant vous pourrez lire sur le net dans divers sites que le SNR d'une photo dépend seulement de la densité de lumière sur le détecteur (du nombre-f autrement dit) et de la techno du détecteur utilisées. C'est faux. La qualité d'image (le SNR) dépend essentiellement de la quantité de lumière capté pour créer la photo, la techno y joue un second rôle. À champ de vue égal c'est la taille de la pupille qui détermine la quantité de lumière. Si vous voulez savoir pourquoi la taille des photosites, ne change rien (ou très peu) ce paradigme je vous renvois encore à cet article.

Perspective

L'objectif photographique n'influe pas directement sur la perspective d'une photo. Ce qui influe c'est la distance entre l'appareil photo, le sujet et le fond. Une illustration vaut parfois mieux que dix mots:

Illustration montrant pourquoi la focale ne change pas la perspective mais que la distance au sujet la change.

Ci dessus, schématiquement, une photo est prise d'un sujet devant un arbre. La position à laquelle la photo est prise dans le cas A et B est telle que la taille angulaire de l'arbre sera la même que la taille angulaire du sujet. Ou autrement dit, sur la photo, l'arbre et le sujet auront la même taille. La focale n'y change rien, en utilisant une focale plus courte (B) on va changer la conversion angle/distance pour l'arbre et le sujet. Ils auront une taille plus petite sur le plan focale mais auront la même taille relative.

La modification de la perspective vient de la volonté de "remplir" le cadre de la photo par le sujet d'intérêt. Avec l'objectif utilisé pour B il faudra donc se rapprocher du sujet pour obtenir la photo C. Le sujet à alors la même taille que A sur la photo mais l'arbre du fond est plus petit car l'angle d'entrée qui le décrit est plus petit que celui du sujet. La perspective a changée.

Objectif et détecteur

Une foi les notions ci-dessous comprises l’introduction du détecteur derrière l'objectif ne devrait pas poser de problèmes.

Le détecteur récupère une partie du cercle projeté par l’objectif et il échantillonne l'image en petits morceaux (les photosites). Le détecteur de taille et de densité de pixel donnée aura donc dans le système une influence sur l'angle maximum (le champ de vue) et l'angle minimum (la résolution) qui pour des ouvertures suffisamment grande sera limité par les photosites et non plus la diffraction6.

Bien sur le détecteur et sa taille ne changera rien a la conversion angle distance (la longueur focale) ni à la taille de la pupille de l'objectif. Par contre comme le champ de vue peut être différent, cela changera la quantité totale de lumière capté.

C’est le détecteur qui va délimiter le champ de vue de l’image et non plus l’angle maximum de l’objectif, car dans les cas courants sa diagonale est inférieure ou égale au cercle projeté de l’objectif. Les détecteurs étant en général rectangulaires nous pouvons définir plusieurs champ de vue, pour les calculer il suffit d’inverser la relation angle/distance (equation (a)) en relations distance/angle suivantes:

\(\alpha_w = 2 \arctan{(\frac{w}{2M})}\) le champ de vue sur la longueur \(w\)

\(\alpha_h = 2 \arctan{(\frac{h}{2M})}\) le champ de vue sur la largeur \(h\) du détecteur.

Et

\(\alpha_d = 2 \arctan{( \frac{\sqrt{w^2+h^2}}{2M})}\) sur sa diagonale.

Il va de soi que dans ce cas \(\alpha_d\) est inférieur à l’angle maximum de l’objectif sinon l'objectif va "vigneter".

Encore une foi, un détecteur de taille plus petite captera une portion de l'image plus petite et l'angle de vue du système sera donc plus petit.

L'équivalence

On dit que deux systèmes (objectif + détecteur) sont équivalant lorsqu'ils peuvent produire la même photo. On peut considérer donc le problème sous un autre point de vue et se demander quel détecteur il faudra pour capter la même image si on possède deux objectifs différents. Ou dans l'autre sens, quel objectif il faudra si on possède deux détecteurs différents pour capter la même image.

Ci dessous j’illustre cela encore en projetant les images sur une feuille de papier. On prend en photo un paysage avec deux objectifs différents, le but étant d’obtenir le même cadrage à partir du même endroit: c'est à dire que les photos auront le même champ de vu et la même perspective. Comme il était plus pratique de le faire chez moi, le paysage est affichés sur un écran:

La scène, ici une (de mes) photo projeté sur un ipad (Le massif de Los Cuernos à Torres Del Paine). La scène est vu du mème angle du même endroit pour chaque objectifs.

Cette foi j’utilise un 135mm (à f/4) et un 90mm (à f/4 également). L’écran blanc derrière est le plan focal. Les centres optiques des deux objectifs sont tout les deux à la même distance du "paysage".

Un 135mm (à f/4) et un 90mm (à f/4) côte à côte. L'écran blanc derrière est le plan focal. L'angle d'entré qui délimite le paysage est le même.

Comme les deux objectifs ont une longueur focale différente, ils auront une conversion angle-distance sur le plan focale différent et donc auront besoin de détecteurs de taille différente pour respecter le même cadrage:

La même scène, le même champ de vu est projeté sur une surface plus petite par le 90mm que par le 135mm. Notez que le champ de vue est ici inférieur à l'angle que peut restituer les objectifs (de peu pour le 135mm). À noter également l'image inversée sur le plan focal.

Ici il faudra un détecteur 1.5 fois plus petit en longueur et largeur derrière le 90mm pour capter la même scène. On dit souvent que le 90mm et son petit détecteur est équivalent au 135mm et son détecteur 1.5 fois plus grand. Car la même scène est restituée.

À noter que dans cet exemple la pupille est plus petite pour le 90mm f/4 que le 135mm f/4 (car le nombre-f est identique), donc même si le champ de vue est similaire la quantité de lumière capté pour créer la même photo est différente et donc le SNR de la photo finale, accrochée au mur, sera différent. Également la profondeur de champs sera différente, ceci est expliqué dans cet article. Il aurait fallut un 90mm f/2.8 pour respecter l'équivalence de rendu dans son ensemble c'est à dire pour égaliser la quantité de lumière (SNR) et profondeur de champ en plus du champs de vue.

L'équivalence en focale est souvent rapporté au plein format (24x36mm) pour des raisons historiques. Lorsqu'on dit "j'ai un équivalent 50mm", il faut le comprendre par "l'objectif imaginaire placé devant un détecteur plein format aurait une longueur focale de 50mm pour restituer le même champ de vue".

Pourquoi ne pas utiliser directement le champ de vue plutôt que l'équivalence en longueur focale ? Je penses que c'est aussi pour des raisons historiques et pratiques. Lorsque les détecteurs numériques ont débarqués, avec leur multitude de format, il était plus pratique pour les photographe de se référencer au plein format plutôt que de parler d'angle de vue. Je penses que beaucoup de photographes avertis en regardant une scène peuvent dire d'instincts "il me faut un 50mm pour prendre cette photo" (ou équivalent 50mm) alors qu'ils n'ont aucune idée de la valeur de l'angle de vue qu'il leur faut. J'ai rarement entendu un photographe dire "il me faut un champ de vue de 40\(^\circ\) pour prendre ma photo", parler de longueur focale est plus naturel pour certain.

Bien sur chacun n'a pas la même expérience photographique et chacun est libre d'utiliser la référence qui lui convient.


  1. En vérité un des objectifs est un 50mm et l'autre un 56mm de focale, disons que pour cette démonstration la longueur focale est suffisamment proches.

  2. Pour les aficionado des chiffres on peut calculer à partir de quel nombre-f \(l_{min}\) commence à être supérieur à la taille d’un pixel. On a donc \(f = \frac{l_{min}}{1.22\, \lambda}\), pour un détecteur plein format à 24Mpx la taille d'un pixel est de \(\sim 6\mu m\), la longueur d'onde centrale de la lumière visible (le jaune) est de \(0.6 \mu m\), ce qui nous donne \(f = \frac{6}{1.22*0.6} \sim 8\), à \(f/8\) la limite peut commencer à être visible car plus grande que un photosite (en réalité sur une photo classique, la résolution est limité par l’impression ou l’œil humain et non pas le pixel ou la tache de diffraction).

  3. une étoile est un bon exemple d'un objet qui ne pourra jamais être résolu par un objectif photo. Même des télescopes de 8 mètres de diamètre ne peuvent pas résoudre une étoile. C'est à dire que la taille angulaire de l'étoile est inférieure à la limite de diffraction (l'angle minimum de l'objectif). La lumière venant d'un bord d'une étoile ne peut être distinguée de la lumière venant du bord opposé.

  4. Pour les aficionado des chiffres on peut calculer à partir de quel nombre-f \(l_{min}\) commence à être supérieur à la taille d’un pixel. On a donc \(f = \frac{l_{min}}{1.22\, \lambda}\), pour un détecteur plein format à 24Mpx la taille d'un pixel est de \(\sim 6\mu m\), la longueur d'onde centrale de la lumière visible (le jaune) est de \(0.6 \mu m\), ce qui nous donne \(f = \frac{6}{1.22*0.6} \sim 8\), à \(f/8\) la limite peut commencer à être visible car plus grande que un photosite (en réalité sur une photo classique, la résolution est limité par l’impression ou l’œil humain et non pas le pixel ou la tache de diffraction).

  5. parfois même la pupille est "imaginaire", en dehors de l'objectif.

  6. Pour les aficionado des chiffres on peut calculer à partir de quel nombre-f \(l_{min}\) commence à être supérieur à la taille d’un pixel. On a donc \(f = \frac{l_{min}}{1.22\, \lambda}\), pour un détecteur plein format à 24Mpx la taille d'un pixel est de \(\sim 6\mu m\), la longueur d'onde centrale de la lumière visible (le jaune) est de \(0.6 \mu m\), ce qui nous donne \(f = \frac{6}{1.22*0.6} \sim 8\), à \(f/8\) la limite peut commencer à être visible car plus grande que un photosite (en réalité sur une photo classique, la résolution est limité par l’impression ou l’œil humain et non pas le pixel ou la tache de diffraction).