Ouverture focale et taille de détecteur

Voici un petit mémo pour ceux que ça intéresse. Il reprend dès éléments de base qui peuvent paraître évident pour certain. Il est naît après plusieurs discussions sur des forums et de mon étonnement sur les débats au sujet des équivalences de focale et surtout des équivalant de diaphragme des objectifs lorsque on les transpose d’un boîtier a un autre (d’une taille de détecteur à un autre). Souvent ces débats, sur les forums divers, tournent plus autour de dogmes que de raisonnements.

J’essaye ici de présenter un raisonnement simplifié avec les moyens de les vérifier en bon septiques. Pour la clarté du texte et pour le maintenir relativement court j’emploie des raccourcis sur la physique et son vocabulaire. Désolé pour l’orthographe, ça n’est pas mon fort. Pour éviter les confusions avec l’ouverture physique d’une lentille, j’appelle ici le diaphragme “nombre f”.

L’ouverture

La quantité de lumière captée par un objectif, une lentille, est proportionnelle à la taille de la “pupille d’entrée”. C’est à dire la taille du “trou” en entré qui laisse passer la lumière.

Pour le tester il faut d’abord pouvoir s’abstenir des effets de focales et de détecteurs. Il nous faut une source de lumière bien plus petite que le champ de vue du détecteur et mieux encore une source dont la taille ne dépend pas de la focale. De telles sources s’appellent ponctuelles.

En effet, même en imaginant un détecteur avec un nombre de pixel infini et une qualité optique parfaite, il existe une limite physique sur la taille (angulaire) des objets qu’un appareil photo ou un télescope peut observer. Cette limite s’appelle limite de diffraction, elle est inversement proportionnelle à la taille de la pupille d’entrée (et de la longueur d’onde). En gros plus la pupille d’entrée est grande plus il est possible de “résoudre” des objets petits ou loin. On peut dire que une photo est une combinaison d’une multitude de sources ponctuelles, éléments singuliers d’une image. Le but ici est de comprendre comment l’intensité de ces éléments change avec la taille de la pupille d’entrée.

Les sources ponctuelles les plus facile à trouver sont les étoiles. Avec un appareil photo est un objectif, aussi gros soit-il, aucune étoiles n’est “résolu”, c’est à dire qu’il est impossible de distinguer la lumière qui vient d’un bord ou de son bord opposé. Pour résoudre les étoiles les plus proche il faudrait un objectif (ou un télescope) d’un diamètre d’environ 10 mètres (dans l’espace ou équipé d’un système dit d’optique adaptative pour corriger la dégradation de lumière par l’atmosphère).

La “tâche” que décrit une étoile sur le détecteur n’est donc pas proportionnel à la taille de l’étoile mais elle est inversement proportionnelle à la taille de la pupille d’entré (elle dépend aussi de la longueur d’onde). Pour un appareil photo de type reflex numérique classique cette tâche, dite tâche de diffraction, est concentrée sur une zone en général plus petite que un pixel pour les plus grande ouverture et devient plus grande que un pixel pour des petites ouvertures ; du style f/8 et plus petit. En vérité la turbulence de l’atmosphère et les vibrations de l’appareil lors d’une pose longue font que la tâche de l’étoile peut être plus grande que un pixel.

Quoi qu’il en soit le but ici est de mesurer l’intensité d’une étoile de façon relative en changeant un seul paramètre : le diamètre de la pupille d’entrée. Il suffit de mètre une étoile au centre et de prendre une série de photos avec une vitesse d’obturation et un iso constant mais un diaphragme variable (celui ci par définition il fait varier la pupille d’entrée). Ensuite il nous faut aussi un logiciel qui permet de mesurer la quantité de lumière de l’étoile captée. Avec Photoshop il est possible de récupérer la somme des valeurs de pixels inscrit dans une zone. Un cercle autour de la tâche décrit par l’étoile devrait faire l’affaire ou sinon la lecture d’un seul pixel si cette tâche tient sur un pixel. Par contre en plus du flux émis par l’étoile, la zone de mesure contient aussi l’émission du ciel et un signal parasite du détecteur (appelé le courant d’obscurité). On peut soustraire cette contribution en la mesurant à côté de l’étoile, dans le “noir” du ciel, en prenant le même nombre de pixels ou en normalisant par le nombre de pixel prit pour l’étoile sur celui prit pour le fond. On note ici que la mesure est dans une unité complètement arbitraire et n’a de sens que si elle est comparée à d’autres mêmes mesures.

Le second paramètre qu’il nous faut est le diamètre de la pupille d’entrée pour chaque photo, elle peut être mesurée à la règle par example ou bien sur en sachant que ce diamètre est égal à la focale M divisé par le ‘nombre f’ du diaphragme, par définition du nombre f.
On peut vite constater que le flux collecté (la somme des pixels éclairés) dépend du carré du diamètre d’ouverture, c’est à dire de la surface de la pupille d’entrée.

Cette expérience peut être vérifier en changent de focale avec un zoom ou un autre objectif est constater que l’intensité de l’étoile ne dépend pas de la focale mais du diamètre d’ouverture (cependant l’intensité peut varier car la transmission peut être différent d’un objectif à l’autre). On pourrait aussi faire la même expérience avec un autre détecteur (plus petit par example) mais il faut avoir accès au gain du détecteur. Le gain est Grosso-modo le facteur de conversion entre le nombre de photons absorbé par un pixel et le digit numérique enregistré. Ce gain est le paramètre du détecteur qui varie avec l’iso, il est aussi variable suivent les constructeurs et la taille du détecteur. Malheureusement les constructeurs ne donnent en général pas le gain des détecteurs de leur appareil photo. Cependant certaines personnes sur le web se sont amusés à le mesurer pour quelques appareils. Avec le gain en main on peut constater également que la quantité de lumière capté d’une source ponctuelle ne dépend pas de la taille du détecteur mais du diamètre d’ouverture de la lentille. Ceci est bien sûr différent pour une scène étendue ( voir ci-dessous).

Conclusion plus l’objectif est large plus le nombre de photons collectés sur une source ponctuelle est important (augmente avec le carré du diamètre d’ouverture).

Avec ce constat on peut déjà sentir la fraude de certain fabricants d’appareils qui prétendent que une petite lentille de, par example, 20mm de focal ouvert à f/2, monté sur un petit détecteur pourrait être “équivalente” à une lentille de 100mm f/2 sur un capteur plus gros. La physique nous montre que pour capté beaucoup de lumière il faut un gros collecteur.

La focale

Maintenant que l’on a déterminé l’effet du diamètre d’entrée de la pupille on peut comprendre l’effet de la focale sur la quantité totale de lumière détecté. En général une photo n’est pas faite de points ponctuels mais d’une infinité de ceux-là. La photo est constitué de la somme de tout ces éléments et la quantité totale de lumière va être donc déterminée par le champ de vu et l’intensité de chaque éléments. Pour un détecteur donné, plus la focale est petite, plus le champ de vue est grand et plus il y aura d’éléments de lumières (de source ponctuelles) sur la totalité du détecteur. Pour le vérifier il suffit de prendre plusieurs photos d’une scène de brillance uniforme, comme un ciel bleu par example, en changeant la focale et en gardant ISO, temps d’exposition et diamètre de la pupille d’entrée fixe. Attention pour garder le diamètre de la pupille d’entrée fixe il faudra changer le nombre f (le diaphragme). Le mieux est comme précédemment de le mesurer ou de partir de la relation que l’on veut re-démontrer f = M/d avec M la focale et d le diamètre.

La quantité de lumière pour chaque photos prises peut être estimée facilement avec l’histogramme, il est préférable de prendre le centre du détecteur pour éviter les effets de variation de vignettage avec la focale.

Le constat est vite fait, il est évident et intuitif, la quantité de lumière totale diminue avec le carré de la focale, donc la surface du champ de vu. Dans la pus part des scènes plus le champ de vue se rétrécit, moins il y’a de lumière et donc on a besoin d’une ouverture de pupille plus grande pour augmenter l’intensité des éléments ponctuels pour conserver le flux total.

Le nombre f

La quantité “d’élément de lumière” diminue avec le carré de la focale, l’intensité (le nombre de photons) des éléments de lumière augmente avec le carré du diamètre de l’ouverture. On comprend que le rapport des deux, le nombre f , est fait pour conserver la quantité de lumière sur le détecteur (d’une manière générale, cela varie bien sûr en fonction de la scène photographiée).

La taille du détecteur et les equivalences d’ouverture et de focale

D’après se que l’on vient de déduire, d’une manière générale, en moyenne, une photo prise avec un 50mm de focale f/2 contient la même quantité de lumière qu’une photo prise avec un 100mm f/2 (par définition du nombre f et pour iso et temps d’expo constant bien sûr). Considérons les photos suivantes :

  • A Une photo du ciel bleu prise avec un 50mm f/2 et un détecteur plein format, 35mm
  • B Une photo du ciel prise avec un 100mm f/2 même iso, temps d’expo et détecteur que A
  • C La même que A mais rognée. La moitié de A en largeur et en longueur, elle simule une photo prise avec un crop facteur de 2 (plein format vs 4/3).

On constate que :

  • A et B contiennent la même quantité de lumière (car même nombre f)
  • C et B ont le même champ de vue.
  • C contient 4 fois moins de lumière que A car la surface de C est 2x2 = 4 fois plus petite que A

Donc C contient 4 fois moins de lumières que B. C a donc une équivalence de nombre f de f/4 puisque la quantité de lumière dépend du carré du nombre f.

C est une photo prise avec 50mm f/2 mais dont la photo (champ de vue et quantité de lumière) est équivalente à un 100mm f/4 plein format.

L’introduction de nombre de pixels par taille de détecteur (densité de pixel) n’apporte rien au problème, il ne change pas la quantité de lumière capté par le détecteur (ou très peut, la seule différence vient de la surface totale inter pixel, cette différence est négligeable entre un plein format et un 4/3 par example, surtout depuis que les pixels sont dopés de micro lentilles).

Conclusion

Donner l’équivalence de focale et nombre f en prenant le champ de vue et quantité de lumière d’un plein format (35mm) est une vue de l’esprit. C’est utile pour les aficionados du format populaire 35mm pour se représenter les performances de l’objectif sur un système de référence. Il n’y a aucunes raison de ne pas employer le fameux crop facteur sur le nombre f comme on l’emploie sur la focale. Dire que, par example, un petit objectif de 200mm f/4 sur un bridge serait équivalent à un 600mm f/4 en therme de quantité de lumière défit les lois de la physique. Pour capter beaucoup de lumière sur un champ de vu petit il faut une grosse pupille d’entrée, un gros objectif. Comme un toit (la lentille) qui collecterait la pluie (photons), quel qu’en soit la taille de la citerne (le détecteur), un grand toit captera toujours plus d’eau qu’un petit.

Beaucoup de confusions vient de la définition de l’iso pour les capteurs numériques. Comme brièvement cité plus haut il existe un gain de conversion (nombre de photons captés par pixel -> digit numérique ) variable en fonction de l’iso. Plus haut l’iso, plus fort sera ce facteur de conversion. Ce gain est ajusté par les constructeurs en prenant en compte la taille et l’efficacité du détecteur pour que les réglages soient transparents pour le photographe. C’est à dire, pour un diaphragme et iso donnée la vitesse d’obturation sera la même quel qu’en soit la taille du détecteur (pour la même scène photographiée bien sûr). Ou pour une même vitesse, diaphragme et iso, l’histogramme de la photo sera centré pareil d’une taille à une autre de détecteur. Qu’est-ce qui change alors ? Le bruit, ou plutôt le rapport entre le signal et le bruit. La fraction de bruit, par rapport au signal, sera plus important pour un petit détecteur que pour un gros car moins de lumière est capté (ceci sera peut être le sujet d’un autre mémo.).